Betrachten wir zunächst die Familie der Reihen, deren Folgenglieder Summen aller Ordnungen sind.
S(0,n)=1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +...+n.tes Element
S(1,n)=1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+n.tes Element
S(2,n)=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...+n
S(3,n)=1 + 3 + 6 +10 +15 +21 +...+n.tes Element
S(4,n)=1 + 4 +10 +20 +35 +56 +...+n.tes Element
S(5,n)=1 + 5 +15 +35 +70+126 +...+n.tes Element
S(6,n)=1 + 6 +21 +56+126+252 +...+n.tes Element
Wenn man diese Reihen sehr schematisch aufschreibt und ihre Struktur analysiert, kommt man zu folgenden Formeln für S(k,n):
S(0,n) = 1 / 0! = 1
S(1,n) = n / 1! = n
S(2,n) = n(n+1) / 2!
S(3,n) = n(n+1)(n+2) / 3!
S(4,n) = n(n+1)(n+2)(n+3) / 4!
S(5,n) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) / 5!
...
S(k,n) = n(n+1)...(n+k-1) / k!
Diese Ergebnisse sind sehr schematisch und deshalb eingängig. Sie sind deshalb die Grundlage für die Darstellung der Potenzen und der Potenzreihen, die ihrerseits durch diese Art von Summenreihen einfach darstellbar sind.
Potenzen von n sind sehr leicht und schematisch durch die obigen
Summenfornmeln auszudrücken. Z.B. sind die Quadratzahlen 1,4,9,16,...
immer gerade die Addition zweier benachbarten Summenzahlen 0,1,3,6,10,15,21...:
Schreiben wir die Summenreihe S(3,n) zweimal untereinander und addieren die Spalten, dann ist das die einfachste Methode jeweils zwei benachbarte Summenzahlen zu addieren, und wir erhalten alle Quadratzahlen:
1* 1 3
6 10 15 21 28
1*
1 3 6 10 15 21
-----------------------------
1
4 9 16 25 36 49
oder die Kubikzahlen durch die Addition von jeweils 3 benachbarten Summen in S(4,n)
1* 1 4
10 20 35 56 ...
4*
1 4 10 20 35 ...
1*
1 4 10 20 ...
-----------------------------
1
8 27 64 125 216 ...
Man beachte hier, daß die zweite Reihe jeweils mal 4 genommen
wird. Für höhere Potenzen von n sind diese Koeffizienten schwer
direkt zu berechnen, aber man kann sie leicht iterativ erzeugen oder einfach
aus dem EULER-Dreieck entnehmen.
z0:1
z1: 1
z2: 1 1
z3: 1 4 1
z4: 1 11 11 1
z5: 1 26 66 26 1
z5: ...
Die Systematik des Euler-Dreiecks ist nicht ganz so einfach wie z.B. die des PASCAL-Dreiecks und soll hier nicht ausgeführt werden. Hierzu wird eine eigene Seite erstellt werden.
Verwendet man das obenstehende EULER-Dreieck zeilenweise als Lieferant für die Koeffizienten des Schemas für die Potenzen von n, so erhält man die folgende Tabelle:
n^0 = 1
n^1 = 1*S(1,n)
n^2 = 1*S(2,n) + 1*S(2,n-1)
n^3 = 1*S(3,n) + 4*S(3,n-1) +
1*S(3,n-2)
n^4 = 1*S(4,n) +11*S(4,n-1) +11*S(4,n-2)
+ 1*S(4,n-3)
...
indem man entsprechend dem Exponenten k bei n die Koeffizienten aus der Zeile zk nimmt und sie mit den Summen S(k,n) multipliziert
n^k = 1*S(k,n) +zk(2)*S(k,n-1) + zk(3)*S(k,n-2) + ... + 1*S(k,n-k+1)
Jede Potenz ist somit als Summe von Summen darstellbar.
Schreiben wir jetzt die Familie der Reihen von Potenzzahlen:
P(0,n) = 1 + 1 + 1 + 1 + ... + n.tes
Element
P(1,n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n.tes
Element
P(2,n) = 1 + 4 + 9 +16 + ... + n.tes
Element
P(3,n) = 1 + 8 +27 +64 + ... + n.tes
Element
P(4,n) = 1 +16 +81 +256 + ... + n.tes Element
...
P(k,n) = 1 + 2^k + 3^k +...+n^k
dann können wir die numerischen Werte aus analogen Formeln berechnen wir oben;
P(1,n) = 1*S(2,n)
P(2,n) = 1*S(3,n) + 1*S(3,n-1)
P(3,n) = 1*S(4,n) + 4*S(4,n-1) + 1*S(4,n-2)
P(4,n) = 1*S(5,n) +11*S(5,n-1) +11*S(5,n-2)
+ 1*S(5,n-3)
Verwendet man die Ergebnisformeln für S(k,n) dann stellt sich das so dar:
P(1,n) = 1*n(n+1)
2!
P(2,n) = 1*n(n+1)(n+2)
+ 1*(n-1)n(n+1)
3!
3!
P(3,n) = 1*n(n+1)(n+2)(n+3)
+ 4*(n-1)n(n+1)(n+2) + 1*(n-2)(n-1)n(n+1)
4!
4!
4!
...
In den Formelsammlungen werden diese Ergebnisformeln meist ausmultipliziert dargestellt, wodurch aber die leicht erkennbare Systematik verlorengeht, z.B. in dieser Art:
P(1,n) = (
n^2 + n)/2
P(2,n) = (
2n^3 + 3n^2 + n)/6
P(3,n) = ( n^4 + 2n^3 + n^2
)/4
oder ähnlich. Der Benutzer der Formelsammlung kann nicht entnehmen,
wie sich die Koeffizienten für höhere k fortsetzen; mit der hier
gezeigten Methode läßt sich jedoch jede beliebige Potenzreihe
durch Iteration schematisch entwickeln.
Die vielen Elemente (n+1), (n+2) etc lassen es praktisch erscheinen,
die Fakultätsfunktion zu verwenden um die Schreibweise zu vereinfachen.
Optimal läßt sich die "n über k"-Schreibweise verwenden,
die hier als
(n ü k) geschrieben wird anstatt als
( n )
( k )
(n ü k) ist definiert als
(n ü k) = n!/(k!*(n-k)!
Hier können wir z.B. den Term n(n+1)(n+2)/3! in einen Binomial-Koeffizienten umwandeln:
n(n+1)(n+2) = 1*2*3*...*(n-1)*n(n+1)(n+2)
= (n+2)! = (n+2)!
= ( n+2 )
3!
1*2*3*...*(n-1) *3!
(n-1)!*3! (n+2-3)!3! ( 3
)
also
S(3,n) = (n+2 ü 3)
Dies vereinfacht alle Darstellungen extrem und ist leicht zu merken:
Für alle S(k,n)-Funktionen ergibt sich dann:
S(0,n) = (1
ü 0) = 1
S(1,n) = (n
ü 1) = 1 + 1 + 1 + ... + n.tes element
S(2,n) = (n+1 ü 2)
= 1 + 2 + 3 + ... + n
S(3,n) = (n+2 ü 3)
= 1 + 3 + 6 + ... + n.tes element
S(4,n) = (n+3 ü 4)
= 1 + 4 +10 + ... + n.tes element
...
S(k,n) = (n+k-1 ü k)
Für die Potenzen von n ergibt sich
n^1 = 1*(n ü 1)
n^2 = 1*(n ü 2) + 1*(n+1 ü 2)
n^3 = 1*(n ü 3) + 4*(n+1 ü 3) +
1*(n+2 ü 3)
...
mit den Koeffizienten aus dem EULER-Dreieck.
Für die Summen der Potenzen P(k,n) ergibt sich
P(0,n) =1*(n ü 1)
= 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 // n-Elemente
P(1,n) = 1*(n+1 ü
2)
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
P(2,n) = 1*(n+1 ü
3) + 1*(n+2 ü 3)
= 1 + 4 + 9 +16 + ... + n^2
P(3,n) = 1*(n+1 ü
4) + 4*(n+2 ü 4) + 1*(n+3 ü 4) = 1 + 8 +27 +64 + ... + n^3
...
mit den Koeffizienten aus dem EULER-Dreieck.
Wie können Summen mit negativem k berechnet werden? P(-1,n) ist die harmonische Reihe, wenn n gegen unendlich geht. P(-k,<infinity>) ist die Riemannsche Zeta-Funktion und liefert Werte die proportional PI oder Potenzen von PI sind.
Eine Voraussetzung, die Folge der P(3,n),P(2,n),P(1,n),P(0,n) nach P(-1,n)
u.s.w. fortzusetzen erfordert auch die Fortsetzung des EULER-Dreiecks nach
ober "über die Spitze hinaus". Hierfür gibt es bereits Ideen,
zumindest für die erste Zeile, die sich aus der Untersuchung allgemeiner
geometrischer Reihen ableiten lassen.
Gottfried Helms