| Real roots of the polynomials f_k(x) | |||||||||||||||||||||
| The roots are computed using Pari/GP, 200 digits float precision | |||||||||||||||||||||
| 1) There is always one special root r_0. This approximates (k+1)/log(2)+1/2, and thus should never be integer | |||||||||||||||||||||
| see the computation in the column check. It is (r_0-1/2)*log(2) +1. The approximation is very fast. | |||||||||||||||||||||
| 2) The various other real roots seem to converge to integer and half-integer values. If they dont cross an integer while approximation | |||||||||||||||||||||
| they can never be integer | |||||||||||||||||||||
| 3) There are some inconsistencies(?, see the pink marker), where roots were expected by the (mod 4)-rhythm. | |||||||||||||||||||||
| Possibly these are incorrect approximations by float-point-calculation. Thus also the complex-roots should be cross-checked | |||||||||||||||||||||
| Polynomials f_k(x) , k== 1 (mod 4) | |||||||||||||||||||||
| K= | various roots r_1 to r_(k/4) | r_0 | Check r_0 | ||||||||||||||||||
| 1 | roots(f1(x)= | 1.0000 | 1.3466 | ||||||||||||||||||
| 5 | roots(f5(x)= | -1.2220 | -1 | 6.2712 | 5.0003 | ||||||||||||||||
| 9 | roots(f9(x)= | -1.4287 | -1 | 12.0418 | 9.0002 | ||||||||||||||||
| 13 | roots(f13(x)= | -1.4982 | -1 | -0.4990 | -0.2351 | 17.8125 | 13.0001 | ||||||||||||||
| 17 | roots(f17(x)= | -1.5000 | -1 | -0.5000 | -0.0566 | 23.5833 | 17.0001 | ||||||||||||||
| 21 | roots(f21(x)= | -2.2030 | -2.0041 | -1.5 | -1 | -0.5 | -0.0018 | 29.3540 | 21.0001 | ||||||||||||
| 25 | roots(f25(x)= | -2.4088 | -2.0000 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 35.1248 | 25.0001 | ||||||||||||
| 29 | roots(f29(x)= | -2.4944 | -2.0000 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5033 | 0.7254 | 40.8956 | 29.0001 | ||||||||||
| 33 | roots(f33(x)= | -2.4999 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5000 | 0.9199 | 46.6663 | 33.0001 | ||||||||||
| 37 | roots(f37(x)= | -3.1458 | -3.0126 | -2.5000 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5000 | 0.9954 | 52.4371 | 37.0000 | ||||||||
| 41 | roots(f41(x)= | -3.3759 | -3.0001 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 0.9999 | 58.2079 | 41.0000 | ||||||||
| 45 | roots(f45(x)= | -3.4872 | -3.0000 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 1.0000 | 1.5095 | 1.6671 | 63.9786 | 45.0000 | ||||||
| 49 | roots(f49(x)= | -3.4998 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 1 | 1.5001 | 1.8867 | 69.7494 | 49.0000 | ||||||
| 53 | roots(f53(x)= | -3.5000 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 1 | 1.5000 | 1.9893 | 75.5202 | 53.0000 | ||||||
| 57 | roots(f57(x)= | -4.3347 | -4.0004 | -3.5 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.9998 | 81.2910 | 57.0000 | ||||
| 61 | roots(f61(x)= | -4.4737 | -4.0000 | -3.5 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0000 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2.0000 | 2.5446 | 2.5709 | 87.0617 | 61.0000 | ||
| Polynomials f_k(x) , k== 2 (mod 4) | |||||||||||||||||||||
| K= | various roots r_1 to r_(k/4) | r_0 | Check r_0 | ||||||||||||||||||
| 2 | roots(f2(x)= | -1 | 2.0000 | 2.0397 | |||||||||||||||||
| 6 | roots(f6(x)= | -1.3058 | -1 | -1 | 7.7139 | 6.0003 | |||||||||||||||
| 10 | roots(f10(x)= | -1.5774 | -1 | -1 | 13.4845 | 10.0002 | |||||||||||||||
| 14 | roots(f14(x)= | -1.7736 | -1 | -1 | 19.2552 | 14.0001 | |||||||||||||||
| 18 | roots(f18(x)= | -1.9141 | -1 | -1 | 25.0260 | 18.0001 | |||||||||||||||
| 22 | roots(f22(x)= | -2.2741 | -2.0245 | -1.9840 | -1 | -1 | 30.7967 | 22.0001 | |||||||||||||
| 26 | roots(f26(x)= | -2.5460 | -2.0014 | -1.9987 | -1 | -1 | 36.5675 | 26.0001 | |||||||||||||
| 30 | roots(f30(x)= | -2.7453 | -2.0001 | -1.9999 | -1 | -1 | 42.3382 | 30.0001 | |||||||||||||
| 34 | roots(f34(x)= | -2.8925 | -2.0000 | -2.0000 | -1 | -1 | 48.1090 | 34.0001 | |||||||||||||
| 38 | roots(f38(x)= | -3.1936 | -3.0543 | -2.9741 | -2.0000 | -2.0000 | -1 | -1 | 53.8798 | 38.0000 | |||||||||||
| 42 | roots(f42(x)= | -3.4981 | -3.0035 | -2.9968 | -2 | -2 | -1 | -1 | 59.6506 | 42.0000 | |||||||||||
| 46 | roots(f46(x)= | -3.7072 | -3.0003 | -2.9997 | -2 | -2 | -1 | -1 | 65.4213 | 46.0000 | |||||||||||
| 50 | roots(f50(x)= | -3.8654 | -3.0000 | -3.0000 | -2 | -2 | -1 | -1 | 71.1921 | 50.0000 | |||||||||||
| 54 | roots(f54(x)= | -3.9616 | -3.0000 | -3.0000 | -2 | -2 | -1 | -1 | 76.9629 | 54.0000 | |||||||||||
| 58 | roots(f58(x)= | -4.4422 | -4.0066 | -3.9941 | -3.0000 | -3.0000 | -2 | -2 | -1 | -1 | 82.7337 | 58.0000 | |||||||||
| 62 | roots(f62(x)= | -4.6637 | -4.0006 | -3.9994 | -3 | -3 | -2 | -2 | -1 | -1 | 88.5044 | 62.0000 | |||||||||
| Polynomials f_k(x) , k== 3 (mod 4) | |||||||||||||||||||||
| K= | various roots r_1 to r_(k/4) | r_0 | Check r_0 | ||||||||||||||||||
| 3 | roots(f3(x)= | -1 | -0.8860 | 3.3860 | 3.0004 | ||||||||||||||||
| 7 | roots(f7(x)= | -1 | -0.6279 | 9.1565 | 7.0002 | ||||||||||||||||
| 11 | roots(f11(x)= | -1 | -0.5105 | 14.9272 | 11.0002 | ||||||||||||||||
| 15 | roots(f15(x)= | -1.835 | -1.500 | -1 | -0.5001 | 20.6979 | 15.0001 | ||||||||||||||
| 19 | roots(f19(x)= | -1.976 | -1.500 | -1 | -0.5000 | 0.0327 | 0.0891 | 26.4686 | 19.0001 | ||||||||||||
| 23 | roots(f23(x)= | -2.000 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0.0002 | 0.3538 | 32.2394 | 23.0001 | ||||||||||||
| 27 | roots(f27(x)= | -2.000 | -1.5 | -1 | -0.5 | 7E-07 | 0.4809 | 38.0102 | 27.0001 | ||||||||||||
| 31 | roots(f31(x)= | -2.8000 | -2.5006 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 2E-09 | 0.4997 | 43.7809 | 31.0001 | ||||||||||
| 35 | roots(f35(x)= | -2.9596 | -2.5000 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 2E-12 | 0.5000 | 49.5517 | 35.0001 | ||||||||||
| 39 | roots(f39(x)= | -2.9989 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 2E-15 | 0.5000 | 1.0006 | 1.3150 | 55.3225 | 39.0000 | ||||||||
| 43 | roots(f43(x)= | -3.0000 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 1E-18 | 0.5 | 1.0000 | 1.4655 | 61.0933 | 43.0000 | ||||||||
| 47 | roots(f47(x)= | -3.7523 | -3.5020 | -3.0000 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 5E-22 | 0.5 | 1 | 1.4991 | 66.8640 | 47.0000 | ||||||
| 51 | roots(f51(x)= | -3.9346 | -3.5000 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 1E-25 | 0.5 | 1 | 1.5000 | 72.6348 | 51.0000 | ||||||
| 55 | roots(f55(x)= | -3.9970 | -3.5000 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 3E-29 | 0.5 | 1 | 1.5000 | 2.0016 | 2.2667 | 78.4056 | 55.0000 | ||||
| 59 | roots(f59(x)= | -4.0000 | -3.5 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 4E-33 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2.0000 | 2.4418 | 84.1764 | 59.0000 | ||||
| 63 | roots(f63(x)= | -4.6940 | -4.5058 | -4.0000 | -3.5 | -3 | -2.5 | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 5E-37 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2.0000 | 2.4975 | 89.9471 | 63.0000 | ||
| Polynomials f_k(x) , k== 0 (mod 4) | |||||||||||||||||||||
| K= | various roots r_1 to r_(k/4) | r_0 | Check r_0 | ||||||||||||||||||
| 4 | roots(f4(x)= | -1 | -1 | -0.8284 | 4.8284 | 4.0002 | |||||||||||||||
| 8 | roots(f8(x)= | -1 | -1 | -0.4957 | 10.5992 | 8.0002 | |||||||||||||||
| 12 | roots(f12(x)= | -1 | -1 | -0.2836 | 16.3699 | 12.0001 | |||||||||||||||
| 16 | roots(f16(x)= | -1 | -1 | -0.1262 | 22.1406 | 16.0001 | |||||||||||||||
| 20 | roots(f20(x)= | -1 | -1 | -0.0321 | 27.9113 | 20.0001 | |||||||||||||||
| 24 | roots(f24(x)= | -1 | -1 | -0.0036 | 0.0039 | 0.4709 | 33.6821 | 24.0001 | |||||||||||||
| 28 | roots(f28(x)= | -1 | -1 | -0.0002 | 0.0002 | 0.6868 | 39.4529 | 28.0001 | |||||||||||||
| 32 | roots(f32(x)= | -1 | -1 | -1E-05 | 1E-05 | 0.8506 | 45.2236 | 32.0001 | |||||||||||||
| 36 | roots(f36(x)= | -1 | -1 | -4E-07 | 4E-07 | 0.9546 | 50.9944 | 36.0001 | |||||||||||||
| 40 | roots(f40(x)= | -1 | -1 | -1E-08 | 1E-08 | 0.9929 | 1.008 | 1.4181 | 56.7652 | 40.0000 | |||||||||||
| 44 | roots(f44(x)= | -1 | -1 | -2E-10 | 2E-10 | 0.9993 | 1.001 | 1.6457 | 62.5359 | 44.0000 | |||||||||||
| 48 | roots(f48(x)= | -1 | -1 | -4E-12 | 4E-12 | 0.9999 | 1.000 | 1.8199 | 68.3067 | 48.0000 | |||||||||||
| 52 | roots(f52(x)= | -1 | -1 | -7E-14 | 7E-14 | 1.0000 | 1.000 | 1.9375 | 74.0775 | 52.0000 | |||||||||||
| 56 | roots(f56(x)= | -1 | -1 | -1E-15 | 1E-15 | 1.0000 | 1.000 | 1.9882 | 2.0151 | 2.3552 | 79.8483 | 56.0000 | |||||||||
| 60 | roots(f60(x)= | -1 | -1 | -1E-17 | 1E-17 | 1.0000 | 1 | 1.9986 | 2.0014 | 2.5985 | 85.6191 | 60.0000 | |||||||||