Workshop
Recreational Mathematics
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Variationen über Summen und geometrische Reihen |
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Abstract: Some considerations on geometric and hypergeometric series. A simple method for the calculation of their value. The use of the Euler-Triangle is introduced First
version Apr. 1998 |
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Man betrachte
die folgende Liste von Folgen s0,s1,s2...:
In den Zeilen sind Summenwerte; je höher die Zeilennummer, desto komplexer die Summe. Lesen wir die Tabelle diagonal so erhalten wir das bekannte Pascal-Dreieck: |
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Das Pascal-Dreieck gibt uns die Koeffizienten k, wenn wir wissen, wieviel a^x ist, und wir wissen wollen, wieviel dann (a+1)^x ist: suchen wir entsprechend x die passende Zeile, z.B. 3, also (a+1)^3 dann können wir rechnen:
oder allgemeiner:
Summieren wir die Werte einer Zeile, erhalten wir pro Zeile die Folge der Zahlen 2^x:
Verwenden wir jetzt einmal die obige Summentabelle. Summen sind nah mit Quadrat-, Kubik-, usw. Zahlen verwandt. Bspw ist die Summe zweier benachbarter Zahlen aus s2 immer eine Quadratzahl:
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Ähnlich dem Pascal’schen Dreieck gibt es das weniger bekannte Euler’sche Dreieck; es sieht so aus:
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Ich hatte gesagt, daß die Summierung benachbarter Werte in s2 immer Quadratzahlen entstehen. Wir können das sehen als Verwendung der Zeile s2 mit der Koeffizienten aus e2. Verwenden wir nun die Zeile s3 mit den Koeffizienten e3, erhalten wir die Kubikzahlen: |
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Aus s3 entnehmen wir 1,4,10 und aus e3 1,4,1. Wir bilden
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Entsprechend funktioniert das auch mit den anderen Summe- und Euler’schen Zeilen; allgemein kann man fomulieren:
d.h. wir könnten z.B. einfach eine Summendarstellung für i^27 erhalten, indem wir in der Euler-Tabelle die Zeile e27 verwenden, in der Summentabelle die Zeile s27 und in ihr die i-te position finden und und das Vektorprodukt bilden Das Eulerdreieck hat änlich wie auch das Pascalsche Dreieck eine besondere Eigenschaft der Zeilensummen: addiert man alle Werte einer Zeile ex erhält man den Wert für x-Fakultät. |
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Es wird eine Familie von Reihen vorgestellt, die über das Euler-Dreieck verbunden sind |
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Definieren wir als Basisreihe
obwohl wir im folgenden hauptsächlich Reihen ohne die führende 1 betrachten wollen, da die abgeleiteten Reihen und Reihengrenzwerte dadurch einfacher werden. Nennen wir also zweitens sowohl
als auch
und führen wir zwei Familien von Reihen ein: |
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Die Familie G(p,x) soll definiert sein über die Vorschrift
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Die Familie H(p,x) soll definiert sein über eine Generierungsvorschrift, die sich erst im folgenden erschließen wird, obwohl das Schema sehr einfach ist:
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also für steigende p jeweils die Summierung früherer Elemente, was für H(2,x) zu den Summenzahlen und für H(3,x) zu den Summen der Summenzahlen im Zähler führt. |
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Betrachten wir zunächst einfache grundsätzliche Eigenschaften von O(x) , z.B.
Wenn O(x) konvergiert, kann man schreiben:
Der Grenzwert o'(x) von O(x) ist dann leicht abzuleiten als
für abs(x)>1 . Für x=1 sowie 0<x<1 ist das Ergebnis infinit da die Reihe divergiert. |
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Nun quadrieren wir einmal die Basisfunktion:
= 1+ 2/x+3/x^2 + .... Wir erhalten im Zähler die Sequenz (der natürlichen Zahlen), die auch bei G(1,x) auftaucht, wobei aber als Mangel erscheint, daß der Zähler des Terms 2/x nicht 1 sondern 2 ist, also nicht dem Exponenten des Nenners gleich ist. Man kann diesen Mangel beheben, indem man die Reihe durch x teilt und 1 hinzuzählt:
welche dann der 2. Funktion aus der G()-Familie ähnlich ist. Führen wir dasselbe mit G(0,x) durch, erhalten wir
mit dem umgekehrten Mangel, der behoben werden kann durch:
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Die Potenzen der Funktionen O(x) und G(0,x) weisen also Mängel auf, die man durch Multiplikationen und Additionen bereinigen muß. Definieren wir vorläufig die Funktion H(0,x) als
dann liefert
eine "mängelfreie" Version, in der der Exponent des Nenners mit dem Zähler korrespondiert und definieren dies als H(1,x) :
mit dem Grenzwert
Das gleiche gilt auch für G(1,x) , da G(1,x) und H(1,x) offensichtlich gleich sind.
Entwickeln wir nun einfach analog weiter
erhalten wir
mit den Summenzahlen im Zähler und dem Grenzwert
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Betrachten wir nun jeweils zwei aufeinanderfolgende Zähler in H(2,x) , dann sehen wir, daß deren Summe gerade die Folge der Quadratzahlen ergibt - also genau die Folge der Zähler von G(2,x). Benachbarte Terme können addiert werden, wenn ihre Nenner angeglichen werden. Dies kann durch eine Multiplikation mit 1/x geschehen: Setzen wir einmal
und addieren wir dies zu H(2,x) erhalten wir gerade G(2,x)
und dieses ist gleich G(2,x). |
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Hieraus folgt für die Reihen
und die Grenzwerte, (ausgedrückt als Funktion von o'(x)),
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Wenn man dies Schema weiter fortsetzt erhält man im nächsten Schritt G(3,x) und H(3,x)
mit den Einträgen des Euler-Dreiecks aus der zweiten Zeile (1,4,1) und die Grenzwerte:
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Noch ein weiterer Schritt:
mit den Einträgen des Euler-Dreiecks aus der dritten Zeile (1,11,11,1) und die Grenzwerte:
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Die Koeffizienten im Zähler der Grenzwerte von G(p,x) folgen dem Eulerschen Dreieck: (siehe bereits oben) |
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Das Euler - Dreieck kann iterativ erstellt werden. Folgendes Verfahren führt zum Ziel: Eine Zeile zx bestehe aus den Einträgen
Dann sind die Einträge der Zeile zx+1
Oder tabellarisch aufgeschrieben:
und
(Ich habe auch eine direkte Formel entwickelt, durch die die Elemente direkt durch ihre Zeilen- und Spaltennummer berechnet werden können. Experimentell kann man dann auch negative Nummern oder sogar gebrochene Nummern dort einsetzen und erhält interessante Ergebnisse, unter anderem Ausdrücke für die harmonische oder für Zeta-Reihen.) |
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Ein bemerkenswertes Ergebnis scheint mir, wie die Potenzen der natürlichen Zahlen durch Polynome über Summenwerte zusammengesetzt sind. Vielleicht hilft diese Beobachtung bei der Analyse von diophantinischen Problemen. |
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Dies stellt eine allgemeine Formulierung für diese Art von Reihen und ihre Grenzwerte vor. |
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Während die Verlängerung nach unten zu größeren p einfach ist, z.B. durch das iterative Verfahren des Euler-Dreiecks, scheint die Ausdehnung nach oben zu negative p nicht einfach möglich. Für die Familie der g-Funktionen erhalten wir immerhin einfach folgende Terme, die sich aus der Definition als G(p,x)[i] = i^p / x^i direkt ergeben |
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Aus der negativen Fortsetzung
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ergibt sich z.B. für p=-3
was leider keine Vereinfachung darstellt, da man nach Ausmultiplizieren die ursprüngliche Reihe erhält. Während G(p,x) bei positiven p für x=1 keinen Grenzwert produziert, kann für negative p ein Grenzwert auch für x=1 ermittelt werden; wir erhalten dann
die Zeta-Funktion für reelle Zahlen, und
Leider ist mir im Moment eine Fortsetzung des Euler-Schemas nach negativen p z.Zt. nicht möglich, aber die Grenzwerte für H(p,x) lassen sich immerhin einfach bestimmen, da sie direkte Funktionen von o'(x) und p sind. Die angegebenen Reihenentwicklungen sind provisorische Vermutungen, die lediglich "funktionieren" im Sinne der Grenzwert-Identitäten: H(-1,x) = 1/x |
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Ein anderer Zugang zu den Eigenschaften geometrischer Reihen ist der über die Darstellung als Produktreihe. Eine geometrische Reihe
kann dargestellt werden als
wie sich leicht durch ausmultiplizieren feststellen läßt. Diese Äquivalenz gilt allerdings nur für den Fall des Grenzwertes bei infinitem Index; Teilreihen von O(x) und PO(x) sind grundsätzlich unterschiedlich : während Teilreihen von O(x) bis zum Index i alle Terme mit niederen Potenzen von 1/x als 1/x^i enthalten, sind Teilreihen von PO(x) für einen Index i grundsätzlich "löcherig" in dieser Hinsicht und reichen immer grundsätzlich bis zu einem Term mit dem Exponenten 2^i. Aus der obigen Definition von PO(x) lassen sich leicht einige Identitäten ableiten, die sich meist aus der Darstellung als geometrische Reihe nicht leicht erkennen lassen:
O(x^2) wäre
eine Reihe, die in den Familien G() und H() so nicht auftaucht. Durch die Produktschreibweise erhalten wir aber leicht den Hinweis, daß
ist und den Grenzwert
hat, den man natürlich auch durch einfaches einsetzen von x^2 für x in der Grenzwertformel hätte finden können. PO(x/2) kann man folgendermaßen herleiten:
Interessant wird es, wenn man in PO(x) negative x einsetzt. Es verändert sich nur der erste Faktor:
Der Grenzwert verändert sich nach
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------- material
----------- x^i/(1+x)(2+x)(3+x)...(i+x)
= x^i+ Su(i)*x^(i-1) + Su(2+3+6)x^ + 1*2*3 1 1 1 1 |